机器学习中几乎都可以看到损失函数后面会添加一个额外项，常用的额外项一般有两种，一般英文称作 ℓ 1 \ell_1 ℓ1​-norm 和 ℓ 2 \ell_2 ℓ2​-norm，中文称作 L1正则化 和 L2正则化，或者 L1范数 和 L2范数。

L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓『惩罚』是指对损失函数中的某些参数做一些限制。对于线性回归模型，使用L1正则化的模型建叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）。下图是Python中Lasso回归的损失函数，式中加号后面一项 α ∣ ∣ w ∣ ∣ 1 \alpha||w||_1 α∣∣w∣∣1​即为L1正则化项。

下图是Python中Ridge回归的损失函数，式中加号后面一项 α ∣ ∣ w ∣ ∣ 2 2 \alpha||w||_2^2 α∣∣w∣∣22​即为L2正则化项。

一般回归分析中 w w w表示特征的系数，从上式可以看到正则化项是对系数做了处理（限制）。L1正则化和L2正则化的说明如下：

一般都会在正则化项之前添加一个系数，Python的机器学习包sklearn中用 α \alpha α表示，一些文章也用 λ \lambda λ表示。这个系数需要用户指定。

那添加L1和L2正则化有什么用？下面是L1正则化和L2正则化的作用，这些表述可以在很多文章中找到。

上面提到L1正则化有助于生成一个稀疏权值矩阵，进而可以用于特征选择。为什么要生成一个稀疏矩阵？

稀疏矩阵指的是很多元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即得到的线性回归模型的大部分系数都是0. 通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（因为它们前面的系数是0或者是很小的值，即使去掉对模型也没有什么影响），此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。

这部分内容将解释为什么L1正则化可以产生稀疏模型（L1是怎么让系数等于零的），以及为什么L2正则化可以防止过拟合。

假设有如下带L1正则化的损失函数： J = J 0 + α ∑ w ∣ w ∣ (1) J = J_0 + \alpha \sum_w{|w|} \tag{1} J=J0​+αw∑​∣w∣(1) 其中 J 0 J_0 J0​是原始的损失函数，加号后面的一项是L1正则化项， α \alpha α是正则化系数。注意到L1正则化是权值的绝对值之和， J J J是带有绝对值符号的函数，因此 J J J是不完全可微的。机器学习的任务就是要通过一些方法（比如梯度下降）求出损失函数的最小值。当我们在原始损失函数 J 0 J_0 J0​后添加L1正则化项时，相当于对 J 0 J_0 J0​做了一个约束。令 L = α ∑ w ∣ w ∣ L = \alpha \sum_w{|w|} L=α∑w​∣w∣，则 J = J 0 + L J = J_0 + L J=J0​+L，此时我们的任务变成在 L L L约束下求出 J 0 J_0 J0​取最小值的解。考虑二维的情况，即只有两个权值 w 1 w^1 w1和 w 2 w^2 w2，此时 L = ∣ w 1 ∣ + ∣ w 2 ∣ L = |w^1|+|w^2| L=∣w1∣+∣w2∣。对于梯度下降法，求解 J 0 J_0 J0​的过程可以画出等值线，同时L1正则化的函数 L L L也可以在 w 1 w 2 w^1w^2